Anwendungsbeispiele
| Nullsetzen von f(x) | –> | Schnittpunkte von f(x) mit der x-Achse |
| Nullsetzen von f´(x) | –> | Extremstellen von f(x) |
| Nullsetzen von f´´(x) | –> | Wendepunkte von f(x) |
| Nullsetzen des Nenners | –> | Definitionslücken von f(x) |
| Gleichsetzen von f(x) und g(x) | –> | Schnittpunkte von f(x) und g(x) |
Rechnen mit Winkelfunktionen
- Bei Winkeln im Gradmaß muss der Taschenrechner auf D bzw. DEG gestellt werden.
- Bei Winkeln im Bogenmaß muss der Taschenrechner auf R bzw. RAD gestellt werden.
- Soll zu einem angegebenen Sinus-/Cosinus-/Tangens-Wert der zugehörige Winkel bestimmt werden, so kann es bis zu unendlich viele Lösungen geben (abhängig vom Definitionsbereich)!
Gleichungen mit ex bzw. ln(x)
- Will man eine ex-Gleichung nach x auflösen, so muss man beide Seiten der Gleichung logarithmieren (Regel gilt immer, wenn nach einem Exponenten aufgelöst werden soll!).
- Will man eine ln(x)-Gleichung nach x auflösen, so muss man auf beiden Seiten der Gleichung ein e „unterschieben“ (e als Basis und jeweils eine Seite der Gleichung als Exponent).
Weitere relevante Regeln
- Ein Produkt wird dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist (jeder Faktor wird anschließend einzeln auf Nullstellen untersucht).
- Ein Bruch wird dann 0, wenn der Zähler gleich 0 ist.
Vorgehen beim Lösen von Gleichungen
- Liegt x nur in einer Form vor? (nur x oder nur x² oder nur x³ oder nur …)Liegt x nur in einer Form vor? (nur x oder nur x² oder nur x³ oder nur …)
–> Sortieren (alle x nach links, Rest nach rechts) und dann x ausrechnen.
–> Falls nicht, dann alles auf eine Seite bringen (und damit gleich 0 setzen). - Ausklammern möglich?
–> Jeden Faktor einzeln betrachten und gleich 0 setzen. - Liegt eine Quadratische Gleichung vor? (ax² + bx + c = 0)
–> Mitternachtsformel anwenden. - Kommt x nur in zwei Formen vor und ist der Exponent des einen Teils mit x doppelt so groß wie der Exponent des anderen Teils mit x?
–> Substitution (u = x-Teil mit dem kleineren Exponenten)
–> Mitternachtsformel anwenden, um u auszurechnen.
–> Anschließend Resubstitution. - Keine der bisherigen Möglichkeiten anwendbar aber ganzrationale Funktion?
–> Eine Nullstelle ( ) erraten und dann Polynomdivision durchführen.
–> Ergebnis auf weitere Nullstellen untersuchen. - Letzte Möglichkeit: Newton-Verfahren
–> Startwert ermitteln (Zahl in der Nähe des vermuteten Ergebnisses).
–> Weitere Iterationen durchführen: