Funktion
- Abbildung, die jedem Element einer Menge (unabhängige Variable x) genau ein Element einer anderen Menge (abhängige Variable y) zuordnet.
- Stellt den Zusammenhang zwischen 2 voneinander abhängigen Größen her.
Schreibweisen
| Zuordnungsvorschrift: | f: x –> x² | (x wird abgebildet auf x²) | ||||
| Funktionsgleichung: | f(x) = x² | oder: y= x² |
Arbeiten mit Funktionen
- Soll zu einem gegebenen x-Wert der zugehörige Funktionswert (y-Wert) ermittelt werden (es gibt nur einen!), so muss der x-Wert in die Funktionsgleichung eingesetzt werden.
- Sollen alle x-Werte ermittelt werden, die einen gegebenen Funktionswert liefern, so muss die Funktionsgleichung dem gegebenen Funktionswert gleichgesetzt und anschließend nach x aufgelöst werden.
Funktionen skizzieren / zeichnen
- Gezeichnet wird in ein zweidimensionales Koordinatensystem.
- Das entstehende Bild heißt Graph dieser Funktion.
- Zur Skizzierung einer Funktion wird häufig mit einer Wertetabelle gearbeitet.
- Für eine möglichst genaue Zeichnung benutzt man die Ergebnisse der Kurvendiskussion.
Funktionenschar fk(x)
- Eine Funktionenschar ist eine Menge von Funktionen, zu der dann auch eine Menge von Funktionsgraphen gehört.
- Im Funktionsterm ist neben x noch mindestens ein weiterer Parameter (Scharparameter) enthalten. Für jeden Wert, den der Parameter annehmen kann, entsteht eine neue Funktion mit eigenem Funktionsgraphen.
Arbeiten mit Funktionenscharen
- Mit Funktionenscharen kann genau wie mit Funktionen gearbeitet werden, z.B. im Rahmen einer Kurvendiskussion. Dabei wird der Scharparameter wie eine konstante Zahl betrachtet und kann damit auch in den einzelnen Ergebnissen auftreten.
- Enthält das Ergebnis einer mathematischen Untersuchung (z.B. Suche nach Nullstellen) den Scharparameter nicht, so ist der Untersuchungsgegenstand (z.B. die Nullstellen) unabhängig vom Scharparameter. Das bedeutet, dass alle Funktionen der Schar für diesen Untersuchungsgegenstand das gleiche Ergebnis liefern (die gleiche Eigenschaft haben), also z.B. alle Funktionen der Schar die gleiche Nullstelle aufweisen.
- Ist in einem Ergebnis der Scharparameter enthalten, so variiert die untersuchte Eigenschaft (z.B. die Nullstelle) abhängig vom Wert des Scharparameters. Das bedeutet z.B., dass die einzelnen Funktionen der Schar jeweils eine andere Nullstelle besitzen.
- Kann der Scharparameter Werte annehmen, die die Gültigkeit eines Ergebnisses (z.B. wenn der Scharparameter im Nenner steht) oder die Zahl der Lösungen beeinflussen, ist eine Fallunterscheidung durchzuführen.
Ortskurve
- Die Ortskurve ist eine Linie, auf der alle Punkte einer Funktionenschar liegen, die eine gewisse Eigenschaft aufweisen. Hat beispielsweise jede Funktion einer Schar abhängig vom Wert des Scharparameters einen anderen Wendepunkt liefert eine Linie durch alle Wendepunkte die Ortskurve der Wendepunkte.
- Zur Bestimmung des Funktionsterms der Ortskurve muss die x-Koordinate der berechneten Lösung (z.B. dem Wendepunkt) nach dem Scharparameter aufgelöst und das Ergebnis anschließend in die y-Koordinate eingesetzt werden.